Geometriyadan misol va masalalar

Qo‘shma diametrlar deb, shunday ikkita diametrga aytiladiki, ularning har biri ikkinchisiga parallel vatarlarni teng ikkiga bo‘ladi. Parabolaning qo‘shma diametrlari yo‘q, chunki hamma diametrlar bir xil yo‘nalishga ega.

Qo‘shma vatarlarga perpendikulyar bo‘lgan diametrlar egri chiziqning bosh o‘qlari deyiladi; ularning yo‘nalishlari bosh yo ‘nalishlar deyiladi.

To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida bosh yo‘nalishlar а^² + (а_м - а22^ - а^ = 0, (10.8)

yoki

2а12 _

= (10.9)

^а11 ^{- а}22 tenglamadan aniqlanadi, bunda ф - bosh yo‘nalishlardan birining x o‘qi yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchagi.

Qiyshiq burchakli koordinatalar sistemasida bosh yo‘nalishlar tenglamasi:

(а₁₂ — а^соя^^² + (а₁₁ — а₂₂^ — (а₁₂ — а₁₁со5^) = 0.

(10.10)


162





Aylanadan tashqari har qanday ikkinchi tartibli egri chiziq ikkita bosh yo‘nalishga ega; aylananing bosh yo‘nalishlari aniq emas(cheksiz ko‘p).

Parabolaning hamma diametrlari uchun burchak koeffitsiyenti
Uii Ui2

k = ¹¹ = — (10.11)

^a22 ^a22

formula bilan aniqlanadi yoki parabolaning ikkinchi darajali hadlarining koeffitsiyentlari:

a_n = a², at2 = aß, a.22 = ß² bilan belgilansa, u holda burchak koeffitsiyenti a

к = -j (10.12)

bo‘ladi.

Parabolaning bosh o‘qi uning diametrlaridan biri bo‘lgani uchun u ham shu yo‘nalishga egadir va to‘g‘ri burchakli koordinatalarda

^+^ = 0 (10.13)

tenglama bilan bilan ifodalanadi.

Parabolaning ikkinchi bosh yo‘nalishi uning diametriga

perpendikulyardir, lekin parabolaning ikkinchi bosh o‘qi yo‘q.

Agar ikki qo‘shma yo‘nalishga nisbatan egri chiziqning tenglamasi tuzilsa, ya’ni koordinata o‘qlari deb, bu egri chiziqqa nisbatan qo‘shma yo‘nalishlarga ega bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziq olinsa, egri chiziq tenglamasiga koordinatalarning ko‘paytmasidan tuzilgan had kirmaydi(a₁₂ = 0). Parabola tenglamasida, bundan tashqari ikkinchi darajali hadlardan biri yo‘qoladi(a₁₁ = 0 yoki a₂₂ = 0).

Agar markaziy egri chiziqning tenglamasi ikki qo‘shma diametrga(yoki bosh o‘qlarga) nisbatan yozilsa, uning tenglamasi

a'ii%² + a'227² +t = 0 (10.14)

Ô

ko‘rinishni oladi.

Koordinatalar boshini parabolaning uchiga, ya’ni parabolaning bosh o‘qi bilan kesishish nuqtasiga olib (a'₃₃ = 0), bosh o‘qni absissalar o‘qi (a'₂₃ = 0, a'₁₂ = 0 va a'11 = 0) va parabola uchidan


163





o‘tgan urinmani (u parabola o‘qiga perpendikulyar) ordinatalar o‘qi deb olinsa, parabolaning eng sodda tenglamasi hosil bo‘ladi

a'₂₂y² + 2a'₁₃x = 0. (10.15)

Koordinata o‘qlari yuqoridagidek olinsa, markaziy egri chiziq a'₁₁x² + a'₂₂y² + 2a'₁₃x = 0 (10.16)

tenglama bilan ifodalanadi.

Egri chiziqning diametrlaridan o‘z - o‘ziga qo‘shma bo‘lganlariga uning asimptotalari deb qarash mumkin. Asimptotalarning burchak koeffitsiyentlari

a₁₁ + 2a₁₂fc + a₂₂fc² = 0 (10.17)

tenglamadan aniqlanadi.

Asimptotalar faqat markaziy egri chiziqlarda bo‘lishi mumkin: giperbola ikkita haqiqiy asimptotaga ega, ellips ikkita mavhum asimptotaga ega. Egri chiziq ikkita kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarga ajralsa, u holda asimptotalar bu to‘g‘ri chiziqlar bilan ustma - ust tushadi. Giperbolaning asimptotalari koordinata o‘qlari deb olinsa, u holda bu giperbolaning tenglamasi,

2a'₁₂xy + a'₃₃ = 0 (10.18)

shaklni oladi.

3.