Analyse Numérique Problèmes Pratiques Dérivation Intégration

Analyse Numérique Problèmes Pratiques

• Dérivation Intégration

Introduction

• f connue

• sur un certain nb de points
• ou analytiquement

• besoin de connaître f'

• sur ces points
• sans faire le calcul analytique.

• besoin de calculer l'intégrale

• sans calculer la primitive
• (quadrature)

Dérivation numérique 1/5

• Méthode "naïve" :

• en théorie, la formule est vraie pour h  0

• en pratique, attention au choix de h !

• h trop grand : calcul trop approximatif
• h trop petit : problèmes d'arrondis

Dérivation numérique 2/5

• Méthode des différences centrales :

• Taylor :
• On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}
• h = xi+1 - xi
• f(x+h) 
• f(x-h) 

Dérivation numérique 3/5

• Méthode des différences centrales (suite) :

• f(x+h) - f(x-h) 
• en négligeant les termes en h3 :
• meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2)

Dérivation numérique 4/5

• Méthode des différences centrales (suite) :

• calcul des dérivées d'ordre supérieur :
• f"(xi) ?

Dérivation numérique 5/5

• Méthode des différences centrales (fin) :

• calcul des dérivées d'ordre supérieur :
• en négligeant les termes en h4 :
• et pour les autres dérivées ?

Intégration numérique 1/

• Plusieurs méthodes :

• a et b finis
• On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}
• polynôme d'interpolation sur n+1 points Newton-Cotes
• On connaît f sur autant de points que l'on veut
• polynôme d'interpolation + choix de n+1 points Gauss-Legendre
• a ou b infini
• Gauss-Laguerre, ...

Intégration numérique 2/

• Méthodes polynomiales

• On connaît la fonction sur n+1 points
• 2 solutions :
• calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n
• problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément
• regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible) calculer les polynômes d'interpolation de degré p sommer les intégrales de chaque sous-intervalle

Intégration numérique 3/

• Méthode des trapèzes : p+1=2 points

• polynôme d'interpolation=droite
• A =
• soit h = xi+1 - xi

Intégration numérique 4/

• Méthode de Simpson: p+1=3 points

• polynôme d'interpolation de degré 2
• i va de 0 à n-2 avec un pas de 2

Intégration numérique 5/

• Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points

• polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x)
• comment trouver les i ?

Intégration numérique 6/

• Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points

• calcul des i = décomposition de l'intégrale dans la base {1, t, … tp}

Intégration numérique 7/

• Exercice :

• Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :
• retrouver la méthode des trapèzes
• retrouver la méthode de Simpson
• trouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)

Intégration numérique 8/

• Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ?

• Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :
• erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ]
• erreur de quadrature :

Intégration numérique 9/

• Erreur de quadrature pour :

• les trapèzes
• Simpson

Intégration numérique 10/

• Méthodes polynomiales récursives :

• ex pour la méthode des trapèzes
• découpage récursif de la surface en trapèzes

Intégration numérique 11/

• Bornes infinies ?

• Méthode de Gauss-Laguerre

Intégration numérique 12/

• Intégrales multiples ?

• Ex avec la méthode de Simpson
• en dimension 2 : zij = f(xi, yj)

Sujet de TD

Conclusion